Den misstänkte tros vara beväpnad. Helikopter och drönare har använts i insatsen som inleddes tidigt på torsdagsmorgonen.
Enligt polisen skadades ingen människa i samband med det misstänkta mordförsöket.
– Ingenting tyder på att det ska vara någon fara för allmänheten, säger Urban Isberg, kommunikatör på polisen, till TT.
Larmet om händelsen kom klockan 06.20, och vid 16-tiden hade den stora sökinsatsen börjat trappas ner. Ingen hade då gripits.
– Mannen har rört sig med någon sorts fordon i ett område mycket nära gränsen. Och vi har ett nära samarbete med finsk polis, säger Urban Isberg.
Karesuando ligger 18 mil nordost om Kiruna vid Muonioälven, som utgör riksgräns mot Finland.