Sergio Massa ligger på drygt 36,6 procent av rösterna och Javier Milei 30 procent, med 98 procent av söndagens röster räknade.
Det innebär att det blir en andra valomgång den 19 november. För att utses till president i första vändan krävdes 45 procent av rösterna, eller 40 procent och ett övertag på tio procentenheter.
Utmanaren Milei, 53, som kallar sig själv för "anarkokapitalist", såg ut att leda i opinionsundersökningar innan vallokalerna öppnade på söndagsmorgonen.
Ilska mot etablissemanget
Han anser bland annat att Argentinas centralbank bör avskaffas och har lockat väljarna med ilska mot vad han kallar "la casta", det politiska etablissemanget.
– I dag är en historisk dag eftersom två tredjedelar röstade för förändring, sade Milei om resultatet i första omgången.
– Vi kan vinna, ta tillbaka vårt land, hindra våra barn från att lämna landet, fortsatte han.
Inflation på 140 procent
Sergio Massa, 51, kandiderar till presidentposten efter över ett år som Argentinas ekonomiminister.
Han har hyllats för att ha lyckats omförhandla återbetalningen av ett lån på 44 miljarder USA-dollar från Internationella valutafonden. Men han har också klandrats för att inte ha lyckats hejda den rusande inflationen – i september mättes den till 140 procent på årsbasis.
– Jag är övertygad om att det här inte är ett skitland. Det är ett fantastiskt land och vi kommer att ge det den plats som det förtjänar, sade Massa efter att ha gjort ett mycket bättre val än opinionsundersökningarna hade angett.
Massa och Milei slåss nu om de 23,8 procent av väljarna som röstade på trean, den före detta säkerhetsministern Patricia Bullrich från koalitionen Juntos por el cambio.