"Tillåt läkare att besöka min pappa", skriver Navalnyjs dotter Daria på Twitter på söndagen, dagen efter att en grupp läkare varnat för att han riskerar att drabbas av njursvikt och hjärtstopp och krävt att han genast får intensivvård.
"Vår patient kan dö när som helst", skrev en av dem, hjärtläkaren Jaroslav Asjichmin, på Facebook.
Under söndagen meddelade även Navalnyjs anhängare att man kallar till en landsomfattande demonstration onsdagen den 21 april.
"Det är dags att agera. Det handlar inte längre bara om Navalnyjs frihet, det handlar om hans liv", säger hans nära medarbetare Leonid Volkov i ett uttalande på Facebook.
Demonstrationen, som anhängarna tidigare bedömt kan komma att bli den största gatudemonstrationen i Rysslands historia, är planerad att äga rum bara timmar efter att president Vladimir Putin ska ge sitt årliga tal till nationen.
Aleksej Navalnyj, Rysslands mest framträdande oppositionspolitiker under 2010- och 2020-talet och hård motståndare till Putin, inledde en hungerstrejk den 31 mars i protest mot att fängelset inte ville förse honom med vården han kräver.
"Som en huligan"
Myndigheterna har uppgett att de har erbjudit 44-åringen vård.
Men Navalnyj har tackat nej, eftersom han har krävt att få träffa en läkare som inte är kopplad till fängelset, vilket han inte har fått.
Den ryske ambassadören i Storbritannien anklagar Navalnyj för att endast vara ute efter uppmärksamhet.
– Han kommer inte tillåtas att dö i fängelse, men det jag kan säga är att Navalnyj beter sig som en huligan, säger Andrej Kelin i en intervju med BBC.
– Hans syfte med allt det här är att dra uppmärksamhet till sig.
Förutom Navalnyjs allra närmaste har även andra försökt få myndigheterna att ge med sig och tillåta en läkare utifrån.
"Det blir konsekvenser"
USA:s nationelle säkerhetsrådgivare Jake Sullivan meddelade på söndagen att Kreml varnats för att "det kommer att bli konsekvenser om Navalnyj dör".
Också Tysklands regering kräver i ett uttalande att Navalnyj får vård.
– Vi kräver att Aleksej Navalnyjs skyndsamt får adekvat medicinsk behandling och tillgång till läkare som han litar på. Hans rätt till medicinsk vård måste beviljas utan dröjsmål, säger utrikesminister Heiko Maas till tidningen Bild.
Maas tillägger att EU:s utrikesministrar kommer att diskutera Navalnyjs fall när gruppen sammanträder på måndagen.
I helgen har dessutom 77 kulturpersonligheter, däribland Nobelpristagaren Svetlana Aleksijevitj och författarna Salman Rushdie och J K Rowling, skrivit ett gemensamt brev till Putin med en vädjan om att ge Navalnyj rätt att träffa en läkare som han själv väljer.
Förgiftades med novitjok
I lördags kom även en grupp ryska oppositionspolitiker med en liknande uppmaning till presidenten, och på söndagen sade den franska utrikesministern Jean-Yves Le Dria att Frankrike är "extremt oroligt" över Navalnyjs hälsa.
Navalnyj återvände till Ryssland den 17 januari i år sedan han vårdats i Tyskland efter att ha förgiftats med nervgiftet novitjok. Han greps på flygplatsen och fick därefter en villkorlig dom omvandlad till fängelse, med motiveringen att han brutit mot anmälningsplikten under sin tid på sjukhus i Tyskland.
Regeringen har sagt att den inte sett några bevis på att han faktiskt blev förgiftad, och målar i stället ut Navalnyj som en USA-stödd upprorsmakare på uppdrag att destabilisera Ryssland.