26-åringen kommer att tillhöra Venstres folketingsgrupp, och vill se Jakob Ellemann-Jensen eller en annan borgerlig kandidat som statsminister.
Anna Falkenberg är barnbarn till Edmund Joensen, tidigare lagman på Färöarna och tidigare ledamot i Folketinget.
– Vi måste fortsätta den kurs vi har haft i Folketinget hittills. Vi vill bland annat få ett större inflytande när det gäller den färöiska utrikespolitiken, som idag ligger under Danmark, säger Anna Falkenberg.
– Men generellt lägger vi oss inte i dansk politik. Vi lägger ned våra röster när det är omröstningar om danska frågor i Folketinget, säger hon.
Valdeltagandet på Färöarna var 71,3 procent, en procentenhet högre än i valet 2019.
Den andra stolen säkrades av Sjúrdur Skáale från färöiska socialdemokratin. Han vill se Mette Frederiksen som fortsatt statsminister.
– För mig är det inte ideologin som är det viktigaste, utan att få goda resultat för oss, säger han.
Danmark håller val till Folketinget på tisdagen, men Färöarna höll sitt val den 31 oktober eftersom den 1 november är en allmän sorgedag för färingarna, då man minns dem som omkommit till sjöss.