Godkännandet av resolutionen – som först föreslogs för över två år sedan, men som aktualiserats av Rysslands invasion av Ukraina – möttes av applåder i kammaren.
Åtgärden syftar till att vetorättsinnehavarna USA, Kina, Ryssland, Frankrike och Storbritannien ska "betala ett högre politiskt pris" för sina beslut, förklarar en FN-ambassadör som uttalat sig anonymt.
Enligt resolutionen ska generalförsamlingen samlas till debatt inom tio dagar efter att ett veto lagts. Det innebär inte att vetot kan stoppas eller att veto-landet måste svara, men fler länder får möjlighet att höras och ställa frågor.
Resolutionen har tagits fram med stöd av 80 länder, däribland USA, Storbritannien, Tyskland, Frankrike, Japan och Ukraina.
Liechtensteins FN-ambassadör Christian Wenaweser, som lett arbetet, säger att syftet är att ge röst åt alla som inte har vetorätt eller som sitter i säkerhetsrådet när det gäller "internationell fred och säkerhet".
Varken Kina eller Ryssland ställer sig bakom resolutionen.