Grundberg rapporterade på ett möte med FN:s säkerhetsråd i New York på onsdagen om sina medlingsresor och de förhandlingar som pågår i Genève.
– Intensiva diplomatiska försök pågår på flera nivåer för att få slut på konflikten i Jemen, sade Grundberg till säkerhetsrådet.
– Vi kan se en förnyad, regional diplomatisk rörelse framåt, fortsatte han och konstaterade samtidigt att en vapenvila bara är ett första steg mot att nå en nationell fred och en långvarig politisk lösning.
Detta enligt det utdrag från säkerhetsrådsmötet som FN presenterar.
Krig genom ombud
Konflikten i Jemen inbegriper flera rebellgrupper, bland dem den militanta Huthirörelsen som har nära band med Teheran.
Samtidigt agerar Saudiarabien militärt i Jemen, vilket innebär att det sargade landet är skådeplats för ett krig "genom ombud".
Fredsframgångar kan förstärkas av försök till diplomatiska kontakter mellan Iran och Saudiarabien. De två länderna enades i fredags om att återuppta kontakter efter hemliga möten under kinesiskt överinseende i Peking.
Diplomaten Grundberg lyckades med sitt FN-mandat att få till stånd en vapenvila i april förra året. Den har i stort sett hållit, trots att parterna inte formellt förlängt uppgörelsen som gick ut i oktober.
Direktflyg mellan Jemens huvudstad Sanaa och Amman i Jordanien kan flyga tre gånger i veckan, och nödvändigt bränsle och förnödenheter kan levereras till hamnstaden al-Hudaydah (Hodeidah) i västra Jemen vid Röda havet, enligt Grundberg.
Skört läge
– Det militära läget i Jemen fortsätter att vara relativt stabilt. Men det är skört, sade Grundberg som bland annat besökte Teheran tidigare i veckan.
Förhandlingarna bakom stängda dörrar i Genève rör bland annat fångutväxling. Ett ramverk för fångutväxling antogs vid ett möte i Stockholm för fem år sedan, men som ännu inte genomförts fullt ut.
Förhandlingarna i Schweiz inleddes i helgen som var och väntas pågå i sammanlagt elva dagar. Även Internationella rödakorskommittén ingår i samtalen.