Lagförslaget innehåller legalisering av både samkönade äktenskap och surrogatmödraskap.
Parlamentet säger i ett uttalande att "folket får sista ordet" men att det kubanska folket med tiden lär ställa sig bakom det "revolutionerande, inkluderande och demokratiska" förslaget.
Den nya lagen kommer att ersätta 47 år gammal lagstiftning.
Hbtq-aktivister gjorde försök att få med en legalisering av samkönade äktenskap när den kubanska grundlagen reformerades 2019. Men det stoppades på grund av hårt motstånd från vissa kyrkor och konservativa grupper.