Flera personer rapporteras skadade.
Uppgifterna kommer i första hand från den palestinske presidenten Mahmud Abbas styrande parti Fatah och en icke-namngiven källa inne i lägret.
Enligt uppgiftslämnarna rörde det sig om motsättningar mellan islamistgrupperingar å ena sidan och Fatah-anhängare å den andra. Sammandrabbningarna inne i lägret startade natten till söndagen och ledde till att en militär Fatah-ledare och fyra av hans kollegor sköts ihjäl, enligt Fatah.
Enligt den anonyma källan inne lägret dödades också en av islamisterna.
En journalist från nyhetsbyrån AFP rapporterar att oroligheterna inne i flyktinglägret pågick ännu på söndagseftermiddagen.
Det finns mer än 450 000 palestinska flyktingar registrerade i Libanon enligt FN:s organ för palestinska flyktingar, UNWRA.
Ain al-Hilweh är ökänt för att det ofta förekommer våldsamheter inom området och för att många extremister är bosatta där.