"Enligt preliminära uppgifter kraschade den in i taket på järnvägsstationsbyggnaden, varefter en brand utbröt på taket", skriver guvernören Roman Starovojt på Telegram.
Kursk ligger omkring nio mil från Rysslands gräns mot Ukraina.
Flera drönarattacker har riktats mot Moskva de senaste månaderna. Ryssland skyller samtliga attacker på Ukraina, som hittills har nekat till inblandning.