Explosionen inträffade strax före klockan 11 på söndagen vid entrén till kvinnosjukhuset. Passageraren i taxin dog, medan chauffören skadades.
Passageraren, som pekas ut som den misstänkte attentatsmannen, är enligt polisen en 32-årig man. Brittiska medier rapporterar att han inte hade funnits med på polismyndigheternas radar.
"Kommer inte kuvas"
Det hela betraktas av myndigheterna som ett misslyckat försök till något slags terrorattentat.
– Storbritannien kommer inte att kuvas av terrorism, sade premiärminister Boris Johnson på en presskonferens vid Downing Street i London. Johnson ledde senare ett möte med regeringens krisenhet Cobra.
– Vi kommer aldrig att ge vika för dem som försöker splittra oss genom vansinnesdåd, fortsatte Johnson.
Inrikesminister Priti Patel meddelade att beredskapen för terrordåd höjs en nivå till "allvarlig".
Kastade sig ut
Polis säger att taxichauffören hämtade passageraren på en adress i staden, för att sedan köra honom till kvinnosjukhuset.
– När taxin närmade sig avlämningsplatsen vid sjukhuset så inträffade en explosion inne i bilen. Fordonet slukades av eldsflammor, sade anti-terrorpolisen Russ Jackson till BBC.
– Anmärkningsvärt nog så kunde taxichauffören rädda sig ur bilen.
Taxichaufförens fru skrev på sociala medier på eftermiddagen att hennes man "skattar sig lycklig att vara i livet".
"Explosionen inträffade när han satt i bilen; det är ett mirakel att han lyckades ta sig ut", konstaterade hustrun.
Den brittiska antiterrorpolisens chef i regionen sade tidigt på måndagen att passageraren tros ha tillverkat bomben.
– Varför han tog den till kvinnosjukhuset är okänt, likaså skälet till den plötsliga explosionen, sade antiterror-polisen Russ Jackson.
Egentillverkad bomb
Polisens räder vid olika bostäder kan kopplas till 32-åringen, enligt polisen. Fyra personer i Liverpoolområdet har gripits, misstänkta för kopplingar till terrordåd. En av dem är under 20 år, de andra är mellan 20 och 30 år, rapporterar Sky News.
Explosionen i söndags inträffade bara minuter innan Storbritannien sedvanligt skulle hålla en tyst minut för dem som dött i krig och konflikter, den så kallade stilleståndsdagen.
Inrikesminister Patel konstaterade också att explosionen i Liverpool var den andra terrorhändelsen inom loppet av en månad.
Den konservative parlamentsledamoten David Amess knivhöggs till döds i en kyrka i Leigh-on -Sea den 15 oktober i samband med att han tog emot väljare som ville tala med honom. En 25-årig man greps på plats.