Den ukrainska regeringen skriver i ett uttalande att man "uppmanar MSF att planera en insats för att evakuera dem som försvarar Mariupol och Azovstal och erbjuda vård till dem vars mänskliga rättigheter har kränkts av Ryssland".
Den ryska militären uppger i ett uttalande till den statligt kontrollerade ryska nyhetsbyrån Tass att de ukrainska soldaterna på plats inte har visat några tecken på att komma ut och kapitulera.
Enligt tidigare uppgifter från ukrainska regeringskällor finns omkring 2 000 soldater på plats vid stålverket.
Civila har evakuerats
Uttalandet från Kiev på lördagskvällen kom bara några timmar efter att Iryna Veresjtjuk, biträdande premiärminister i Ukraina, meddelat att samtliga kvinnor, barn och äldre har lämnat stålverket.
"Den här delen av det humanitära uppdraget i Mariupol är färdigt", skrev hon i sociala medier.
Även det ryska försvarsdepartementet beskriver evakueringen av civila som färdig, rapporterar ryska nyhetsbyrån Interfax.
Flera hundratals civila vuxna och barn har bedömts befinna sig i de gamla skyddsrummen under stålverket sedan det ryska anfallskriget inleddes den 24 februari.
Situationen där har beskrivits som ett helvete av bland andra FN:s generalsekreterare António Guterres.
Evakueringen kom till stånd genom insatser av FN och Internationella rödakorskommittén.
Förstört två mål
Tidigare under lördagen uppgav det ukrainska försvarsdepartementet att man genom drönarattacker förstört två ryska mål vid Ormön i Svarta havet: ett luftvärnssystem på ön och en landstigningsbåt i Serna-klassen i närheten.
"Ryska Svartahavsflottans traditionsenliga parad den 9 maj kommer att hållas nära Ormön i år, på havsbotten", skriver försvarsdepartementet i sociala medier.
I april sjönk flaggskeppet i den ryska Svartahavsflottan, robotkryssaren Moskva. Enligt Kiev var det Ukrainas militär som sänkte den, något som förnekas från ryskt håll.
Ryska styrkor har under lördagen beskjutit den viktiga hamnstaden Odessa, rapporteras från ukrainskt och ryskt håll.