Ryssland uppger att tre personer ska ha skadats och en flygplats tvingats omdirigera plan till följd av de ukrainska attackerna.
"På söndagsmorgonen besköt Ukrainas väpnade styrkor området för den centrala marknaden i Sjebekino", skriver Vjatjeslav Gladkov, guvernör för den ryska regionen Belgorod som gränsar till Ukraina, på Telegram.
Guvernören i en annan gränsregion, Brjansk, uppger att ukrainsk beskjutning ska ha skadat byggnader i en by.
Ryska uppgifter gör även gällande att fem drönare skjutits ner över regionen Smolensk, väster om Moskva, och ytterligare en över Krasnodar vid Svartahavskusten.
Krimbron, som förbinder den av Ryssland annekterade halvön med det ryska fastlandet, stängdes också kort av okänd anledning.
Samtidigt meddelar Ukrainas flygvapen att man skjutit ner 16 av omkring 30 ryska drönare under natten till söndagen.
Den centrala regionen Tjerkasy ska ha drabbats hårt av attackerna, enligt Ihor Taburets, chef för Tjerkasys militärledning.
"Som ett resultat bröt det ut bränder i lagerlokaler. I synnerhet där spannmål lagrades", skriver han på Telegram.
En person uppges ha förts till sjukhus.
Sedan Ukraina inledde sin motoffensiv i början av juni har ryska regioner anklagat Kievs väpnade styrkor för nästan daglig beskjutning mot civila mål. För drygt en vecka sedan tog Ukraina på sig ansvaret för en attack mot den ryska Svartahavsflottans högkvarter på Krimhalvön.