Sam Surridge och Junior Stanislas gjorde målen som tog sydkustlaget till kvartsfinal.
Burnley kunde – om laget vunnit – ha råkat riktigt illa ut om inte en påläst tv-reporter kort före avspark påtalat att Erik Pieters, som fanns med i startelvan, var avstängd.
Nederländaren fick inte spela sedan han varnats i de två senaste cupmatcherna, något Burnleys lagledning hade missat.
Pieters plockades bort och ersattes av Anthony Glennon.
Om Pieters spelat och Burnley vunnit matchen hade klubben troligen diskvalificerats för vidare spel i FA-cupen.
Manchester United är precis som Bournemouth klart för kvartsfinal, men det krävdes spel i 120 minuter hemma mot West Ham. Inhopparen Scott McTominay sköt enda målet på Old Trafford i 97:e minuten.
Victor Nilsson Lindelöf spelade hela matchen för United.
Övriga sex åttondelsfinaler spelas på onsdagen och torsdagen.