Mittfältaren Delaneys fullträff kom i början av andra halvlek, efter att tvåmetersbacken Jannik Vestergaard nickskarvat ett inlägg vidare in i det av danskarna fullpackade slovenska straffområdet. Delaney tog emot bollen på låret och avslutade i en och samma rörelse.
Sloveniens stjärnmålvakt Jan Oblak lyckades bevara spänningen i matchen, men kunde inte göra mer än så. Danmark segrade med 2–1 och blir därmed första – och potentiellt enda – nordiska land att säkra spel i EM.
Mittfältaren Pierre-Emile Højbjerg var lycklig och lättad efter matchen.
– Nu ska vi till EM i sommar och där kan vi verkligen åstadkomma något speciellt, säger han till TV2.
Finland är det andra nordiska laget som fortfarande har chansen, men kan endast nå EM genom det snåriga Nations League-playoffet i vår.
Även Albanien säkrade en EM-plats under fredagskvällen, efter 1–1 borta mot Moldavien.
Den 33-årige anfallaren Sokol Çikalleshi gjorde Albaniens mål från straffpunkten i mitten av första halvlek. En moldavisk kvittering i 87:e minuten höjde pulsen bland fansen på bortaläktaren, men Albanien höll ut och säkrade en topp två-placering i kvalgrupp E.
Det blir andra gången som Albanien deltar i ett stort mästerskap, efter EM 2016.