36-åringen spelade över 350 matcher för Manchester City och vann Premier League fyra gånger. Ett VM-brons med Belgien finns också på meritlistan. Som tränare kommer han närmast från Anderlecht i belgiska ligan, där han också var spelande tränare under en period.
"Burnley är en historisk klubb i England och det är en ära att få bli deras nya tränare. Jag ser fram emot utmaningen", säger Kompany i ett pressmeddelande.
Med åtta matcher kvar fick Premier Leagues då längst sittande tränare Sean Dyche sparken från Burnley. Laget låg på nedflyttningsplats och Mike Jackson tog över som en temporär lösning efter att tidigare varit i Burnley U23-lag.
"The Clarets" klarade sig inte kvar och blev degraderat till Championship, men nu har man alltså agerat och gjort klart med en ny tränare i form av den gamle mittbacksgeneralen Vincent Kompany.