Championship-klubben, på god väg tillbaka till Premier League, höll emot bra länge i den första halvleken.
Sedan klev Riyad Mahrez in i handlingen. Algeriern slog in straffen som spräckte nollan på Wembley.
Han var långt från klar för dagen. Två mål senare firade han sitt hattrick och en plats i finalen.
– Det känns väldigt bra. I dag ville vi se till att vi kom till finalen. Det var det viktigaste efter att vi två eller tre säsonger i rad har kommit hit till semifinalen och förlorat. Jag tycker att jag hade en bra match, säger Mahrez enligt AFP.
Den andra semifinalen mellan Manchester United och Brighton spelas på söndagseftermiddagen.
Liverpool är regerande cupmästare.