Mykolenko, hans lagkamrater och motståndarlaget klev ut på Goodison Park med Ukrainas flagga över sina axlar inför avspark, med anledning av den ryska invasionen av Ukraina.
Det var första gången den 22-årige Mykolenko, som anslöt från Dynamo Kiev i januari, spelade för Everton sedan invasionen inleddes för åtta dagar sedan.
Då ärades han med att få vara kapten.
– Att "Myko" får vara kapten är en symbol och ett ställningstagande från oss för det enhetliga stödet vi har för honom, sade tränaren Frank Lampard inför matchen.
Mykolenko åkte på en smäll i inledningen av andra halvlek och fick byttas ut i den 60:e minuten till en stående ovation från supportrarna.
Everton vann matchen med 2–0 tack vare dubbla fullträffar av Salomón Rondón.
Nu väntar Premier League-konkurrenten Crystal Palace i kvartsfinal. Övriga kvartsfinaler: Middlesbrough–Chelsea, Southampton–Manchester City samt Nottingham/Huddersfield–Liverpool.