Brasilianaren Richarlison gjorde matchens enda mål mot Southampton redan i nionde minuten.
Det var tredje matchen i rad som brassen gjorde mål.
Everton ligger kvar på sjunde plats, men har bara två poäng upp till topp fyra – som ger en Champions League-plats – och har dessutom en match mindre spelad än konkurrenterna.
Southampton ligger kvar på 14:e plats.