Resultatet innebär att Brighton ligger på 16:e plats i tabellen med bara sex poäng på åtta matcher för klubben som leds av Östersunds tidigare tränare Graham Potter.
Brighton hade de flesta och bästa chanserna, med nyförvärvet Danny Welbeck allra närmast att bli målskytt. Men hans målchans räddades av reflexräddades av Burnleymålvakten Nick Pope.
Brighton har bara vunnit en av de 13 senaste hemmamatcherna. För Burnley är läget ännu värre. Klubben har inte vunnit hittills under säsongen och har bara två poäng på den näst sista platsen i tabellen.