Tabellfemman låg illa till på Turf Moor där Chris Wood slog in 1–0 för Burnley på straff.
Tio minuter senare hade Antonio vänt på steken.
West Ham är tre poäng bakom Chelsea, som håller den fjärde och sista Champions League-platsen, med fyra matcher kvar. Just nu håller West Ham och Tottenham direktplatserna till Europa League, men Liverpool utmanar båda.
Mbaye Diagnes kvittering skulle helst ha följts av ett segermål i West Bromwichs överlevnadskamp i Premier League.
Nu kom det inte, derbyt mot Wolverhampton slutade 1–1 och väldigt lite talar för att klubben ska lyckas kravla sig över nedflyttningsstrecket.
Med fyra omgångar och tolv poäng att spela om har West Bromwich tio poäng upp till säker mark.
Förlust borta mot Arsenal i nästa match och klubben spelar i The Championship nästa säsong.