Sancho, Marcus Rashford och Bukayo Saka missade varsin straff när Italien knep guldet på Wembley.
21-åringen bad om ursäkt för straffmissen, men sade att han inte var förvånad över de rasistiska påhoppen som trion utsatts för.
"Jag kommer inte låtsas som att jag inte sett de rasistiska påhoppen jag och mina bröder Marcus och Bukayo tagit emot efter matchen, men tyvärr är det inget nytt. Som samhälle måste vi bli bättre, och hålla dessa människor ansvariga", skriver han och fortsätter:
"Hatet kommer aldrig att vinna. Till alla unga människor därute som mottagit liknande påhopp, håll huvudet högt och fortsätt jaga dina drömmar".
Under onsdagen greps en 37-årig man, misstänkt för att ha skickat rasistiska meddelanden till spelarna på sociala medier.