"Den övergripande mångsidigheten i hans spel kommer att vara ett utmärkt komplement till våra spelare, med hans skridskoåkning, snabbhet och poängsättning", säger New Jerseys general manager Tom Fitzgerald i ett uttalande.
I utbyte får Toronto forwarden Joey Anderson.
25-årige Johnsson spelade 65 matcher för Toronto förra säsongen och gjorde åtta mål och tretton assist.
Han kommer från Gävle och har spelat SHL-ishockey med Frölunda.
Två andra svenska klubbyten som har blivit klara är Skellefteåskolade Anton Lindholm, som flyttar från Colorado till Chicago, samt Brynässkolade Johan Larsson, som byter Buffalo mot Arizona.
Den 25-årige backen Lindholm, som har spelat 66 matcher under sina fyra NHL-säsonger, är en del av ett fyraspelarbyte mellan Colorado och Chicago. Brandon Saad och Dennis Gilberg går till Colorado, och Lindholm får sällskap av Nikita Zadorov till Chicago.
Den 28-årige forwarden Larsson debuterade i NHL för Minnesota 2012, men har de sju senaste åren spelat i Buffalo. Den gångna säsongen gjorde han 18 poäng på 62 matcher, vilket var nytt personligt säsongsrekord. Det nya kontraktet med Arizona gäller i två år.