Den ryske 29-åringen gjorde två mål på mindre än en minut i första perioden, och gav gästerna en 2–0-ledning.
Vancouver kom dock igen med tre raka mål, där Elias Pettersson spelade fram till det första, som sattes av Quinn Hughes, innan Bo Harvat gjorde två i rad.
Kuznetsov fullbordade sedan hattricket med ett kvitteringsmål i powerplay med knappt fem minuter kvar av ordinarie tid.
42 sekunder in förlängningen avgjorde Lars Eller för Washington, som därmed vann matchen med 4–3.
Washingtons storstjärna Aleksandr Ovetjkin lämnade matchen utan mål, vilket gör att han får vänta med att passera Jaromir Jagr på NHL:s topplista. Båda har gjort 766 mål, och ligger delad trea bakom Wayne Gretzky (894) and Gordie Howe (801).