Floridas Nick Cousins tog pucken förbi den svenske Torontoanfallaren Calle Järnkrok innan han sköt det avgörande 3–2-målet, 15 minuter och 32 sekunder in i förlängningen.
Ödesmatchen gick till förlängning sedan William Nylander kvitterat till 2–2 knappt 16 minuter in i den tredje perioden.
Aaron Ekblad gav Florida 1–0 ledningen, framspelad av Gustav Forsling.
Florida har i och med bortavinsten tagit sig vidare med 4–1 i kvartsfinalserien. I semifinalen står Carolina för motståndet, som slog ut New Jersey med 4–1 i matcher.
Tre Kronor har därmed möjlighet att fråga Nylander om han vill och kan ansluta till den svenska VM-truppen. Ishockey-VM, som avgörs i Finland och Lettland, inleddes i fredags.
Sveriges förbundskapten Sam Hallam håller fem platser öppna i VM-truppen för potentiella NHL-förstärkningar och ett drömnamn har varit William Nylander.
Calle Järnkrok, Timothy Liljegren och Erik Gustafsson är också nu i teorin tillgängliga för VM-spel.
Under natten vann Vegas mot Edmonton med 4–3 i den femte kvartsfinalmatchen.
Det står nu 3–2 till Vegas i bäst av sju-serien, som kan avgöras om Edmonton inte vinner nästa match som spelas natten mot måndag.