Den spanska världsettan, som tillsammans med Novak Djokovic är favorit till att ta hem titeln, bjöd stundtals på den sortens gnistrande och fartfyllda tennis som blivit hans signum.
Harris, som för närvarande är 177-rankad efter ett tidigare skadeuppehåll, hade inte mycket att sätta emot under de två första seten och tappade serven flera gånger om.
Tredje setet blev dock jämnt och sydafrikanen kunde gå upp till ledning 4–2 sedan han till sist lyckats bryta spanjorens serve. Men Alcaraz – som vann US Open förra året – bröt tillbaka redan i det följande gamet.
Därefter höll båda spelarna sina servar och matchen fick avgöras i tiebreak, där världsettan drog det längsta strået.
– Jag tycker att jag spelade en fantastiskt bra match från första till sista bollen, säger Alcaraz till AFP efter matchen.
Vinsten innebär att han nu är klar för den tredje rundan, där britten Daniel Evans kommer att står för motståndet.
Även på damsidan lyckades en av turneringens favoriter, andrarankade belarusiskan Aryna Sabalenka, ta sig vidare efter en enkel seger mot brittiska Jodie Burrage med segersiffrorna 6–3, 6–2.