Runes förlorade det första setet med 4–6. Andra set avgjordes i tiebreak, som dansken vann med 7–1. I det tredje drog Rune ifrån till 4–1, men de Minaur kom tillbaka och bröt till 3–4 och vann sedan sitt eget servegame till 4–4.
– Jag startade bra i tredje, nästan allt gick in, och jag var avslappnad. Men så började jag tänka för mycket på resultatet, förklarar Rune dippen.
Rune höll dock ihop det och kunde vinna setet och matchen med 7–5 i tredje set.
19-åringen har en ATP-titel sedan tidigare, från München i år.
I finalen väntar Stefanos Tsitsipas, från Grekland. Greken besegrade finländaren Emil Ruusuvuori (6–2, 6–2) i semifinal.
Rune och Tsitsipas har ställts mot varandra en gång tidigare. Då vann dansken. Tsitsipas uppskattar dock att spela Stockholm Open.
– Det kommer kännas som hemma oavsett om jag vinner eller inte. Det känns alltid speciellt att vara i Stockholm jämfört med andra städer runtom i världen, säger Tsitsipas till SVT.