Rublev och Medvedev är inte bara landsmän, de är också nära vänner och Rublev är gudfar till Medvedevs dotter.
Medvedev förlorade första set mot De Minaur men kämpade sig tillbaka och vann slutligen med 2–6, 6–4, 6–1, 6–2.
Den 27-årige Medvedev, som vunnit fyra titlar på hard court den här säsongen, är vidare till kvartsfinal i US Open för fjärde gången på fem år.