Medvedev tog sig relativt enkelt vidare efter att ha slagit ut 117-rankade Botic van de Zandschulp med 3–1 i set (6–3, 6–0, 4–6, 7–5).
Men 25-åringen var full av beundran för nederländaren som tagit sig en lång väg för att nå kvartsfinalen.
– Det är fantastiskt att ta sig från kvalet till kvartsfinal. Han spelade så många tuffa matcher och kunde ändå ta sig tillbaka och spela på högsta nivå i tredje och fjärde set, säger Medvedev.
Det är tredje gången som ryssen är framme i US Open-semi – och den här gången hoppas han gå hela vägen.
– Semifinal igen. Jag vill bara göra lite bättre än jag gjort de senaste två gångerna och ta det sista steget som är det tuffaste, säger Medvedev.
I semifinalen ställs han mot vinnaren mellan 18-åriga stjärnskottet Carlos Alcaraz från Spanien och 21-åriga kanadensaren Felix Auger-Aliassime, 15 på världsrankningen.