Den 59-rankade Peterson hade inte en chans i första set och lyckades bara plocka två poäng i de tre första gemen. Hon förlorade till slut med klara 1–6 – och det såg ut att bli tidig sorti för svenskan.
Men 26-åringen reste sig i andra set, bröt Svitolinas serve direkt, och tog ledningen med 5–3 innan ukrainskan lyckades komma tillbaka och vända till 6–5. Då hittade Peterson nya krafter, hämtade upp till 6–6 och pressade fram ett tiebreak.
Där spelade Peterson bländande tennis och vann med 7–4.
Ukrainskan återtog initiativet i inledningen av det tredje setet med en 2–0-ledning, men svenskan hämtade upp till 3–4 innan Svitolina ryckte ifrån och segrade med 6–3.
Peterson får nu ladda om för US Open i New York som drar i gång redan på måndag. Då ställs svenskan mot den 16-rankade belgiskan Elise Mertens.