Det blev en tät femsetare som slutade 4–6, 5–7, 6–3, 6–4, 6–3.
Efter två set såg det ut som att förhandsfavoriten Thiem skulle fixa avancemanget – men grusspecialisten Andújar kämpade sig tillbaka och tog sedan hem tre raka set.
Den 35-årige spanjoren kom in i turneringen med vind i ryggen efter att ha besegrat världsåttan Roger Federer i ATP-turneringen i Genève för två veckor sedan. Österrikaren Thiem däremot hade visat sviktande form.
Det är första gången i karriären som Andújar besegrat en topp fem-spelare.
För förra årets US Open-vinnare Thiem är det en stor besvikelse. 27-åringen spelade två raka finaler i turneringen i Paris 2018 och 2019, och nådde kvartsfinal i fjol.