Barty fick en flygande start på matchen och vann första set med klara 6–1.
I det andra tappade hon mark direkt och hamnade i underläge med 2–3 innan matchen fick brytas i tio minuter till följd av att en av domarnas kameror gått sönder.
Efter avbrottet repade sig förstaseedade Barty och knep segern efter tiebreak.
I nästa match ställs den regerande Wimbledonmästaren mot den 78:e-rankade danskan Clara Tauson – och planen är att till slut knipa årets sjätte titel.
– Det har verkligen varit underhållande från start, sade Barty på presskonferensen efter segern mot Zvonareva.
På herrsidan lyckades världsfyran och nyblivne OS-guldmedaljören Alexander Zverev ta sig vidare efter att ha besegrat amerikanske Sam Querrey i en tresetare.
Den 24-årige tysken noterade därmed sin tolfte ATP-seger i rad och ses som en av de främsta kandidaterna till att knipa årets sista grand slam-titel. Inte helt orimligt, menar Zverev själv som påminde presskåren om semifinalsegern mot världsettan Novak Djokovic under OS i Tokyo.
– Jag var den första som slog honom på hardcourt eller gräs den här säsongen och jag är också den enda som besegrat honom på en väldigt, väldigt stor tävling i år, säger han.
– Jag hoppas att jag kan hålla nivån uppe och kanske spela ännu bättre, för att slå Novak här kommer bli en väldigt svår uppgift.
I den andra omgången väntar 48:e-rankade spanjoren Albert Ramos-Vinolas för Zverev.